V型12気筒エンジンの慣性力・偶力

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概要

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以下のV型12気筒4ストロークエンジンについて解析する。
シリンダは前から左バンクが1,3,5,7,9,11、右バンクが2,4,6,8,10,12の順番である。
前から見るとエンジンは右回転である。
点火順序は 1-2-9-10-5-6-11-12-3-4-7-8　とする。
点火間隔は720度/12=60度である。
バンク角は60度である。
クランクピンは左右バンクで共有している。
クランクピンの配置は、下図のとおりである。
1,2 11,12 9,10 3,4 5,6 7,8 SVGの代替画像
角度θ=

フォームに角度を入力して指定角度をクリックすると横断図・平面図・等角投影図が変化します。
自動回転をクリックするとエンジンが回転します。回転を止めるにはSTOPをクリックします。
※θはクランクシャフトを中心としシリンダ1の上死点下死点方向から右回りの角度である。

各シリンダの横断図・平面図

SVGの代替画像

特徴

国産の日本向けの車ではトヨタがセンチュリー用に生産していた。
完全バランスである。 メインベアリングは7個となる。

各気筒の行程

下図は青が吸気バルブが開いている期間、赤が排気バルブが開いている期間を示している。グラフの左側の数字はシリンダ番号を示している。
SVGの代替画像

1次慣性力

エンジンが1回転に1回発生する成分で、cos \theta に係数を乗じたものである。
直列6気筒エンジンをV型に連結した構造であるため1次慣性力は発生しない。

2次慣性力

エンジンが1回転に2回発生する成分で、cos \theta に係数を乗じたものである。
直列6気筒エンジンをV型に連結した構造であるため2次慣性力は発生しない。

4次慣性力

エンジンが1回転に4回発生する成分で、cos \theta に係数を乗じたものである。
直列6気筒エンジンをV型に連結した構造であるため4次慣性力は発生しない。

6次慣性力

エンジンが1回転に6回発生する成分で、cos 6\theta に係数を乗じたものである。
直列6気筒エンジンをV型に連結した構造である。

上死点下死点方向を水平と垂直成分に分解する

R Rh Rv α L Lh -Lh Lv α 0 x y SVGの代替画像
αがバンク角の半分の角度、Lが左側の上死点下死点方向の力、Rが右側の上死点下死点方向の力、LhはL水平方向の成分、LvはLの鉛直方向の成分、RhはR水平方向の成分、RvはRの鉛直方向の成分を表す。
各成分は以下の式で算定できる。αが30度の場合も示す。
\displaystyle Lh=L \cos \alpha=\frac{ \sqrt 3}{2} L
\displaystyle Lv=L \sin \alpha=\frac{1}{2} L
\displaystyle Rh=R \cos \alpha=\frac{ \sqrt 3}{2} R
\displaystyle Rv=R \sin \alpha=\frac{1}{2} R
水平方向を合成する場合、例えば右側の力を正とする場合、左側は反対向きなので、符号を反転して加算する。

左バンク1-3-5-7-9-11

ストローク方向

6 \cos 6 \theta

鉛直方向

バンク角が60度なので、左バンクは鉛直方向から30度傾いている。
ストローク方向を鉛直成分に算出するために\displaystyle \cos \frac{1}{6} \pi=\frac{\sqrt 3}{2} を乗じる。
\displaystyle \cos (\frac{1}{6} \pi )6 \cos 6 \theta=\frac{\sqrt 3}{2} 6 \cos 6 \theta
3 \sqrt 3 \cos 6 \theta

右バンク2-4-6-8-10-12

左バンクと同様に鉛直成分に算出する。
右バンクに対してクランク角が60度遅れているものとして算出する。

ストローク方向

\displaystyle 6 \cos (6 \theta-\frac{1}{3} \pi)

鉛直方向

\displaystyle \cos (\frac{1}{6} \pi )6 \cos (6 \theta-\frac{1}{3} \pi)=\frac{\sqrt 3}{2} 6 \cos (6 \theta-\frac{1}{3} \pi)
\displaystyle 3 \sqrt 3 \cos (6 \theta-\frac{1}{3} \pi)

左右バンクの鉛直方向を合成

\displaystyle 3 \sqrt 3 ( \cos 6 \theta + \cos (6 \theta-\frac{1}{3} \pi))
\displaystyle =3 \sqrt 3 (2 \cos (\frac{12 \theta -\frac{1}{3} \pi}{2}) \cos \frac{\frac{1}{3} \pi}{2})
\displaystyle =3 \sqrt 3 (2 \cos (6 \theta -\frac{1}{6} \pi) \cos (\frac{1}{6} \pi))
\displaystyle =3 \sqrt 3 (2 \cos (6 \theta -\frac{1}{6} \pi) \frac{\sqrt 3}{2})
\displaystyle =9 \cos (6 \theta -\frac{1}{6} \pi))
\displaystyle =9 \cos (6 \theta -\frac{1}{6} \pi)
単気筒エンジンの9倍となる。
実際の慣性力の値は、以下のとおりである。
\displaystyle F=M \omega^2 \frac{81}{16384 \lambda^5} \cos (6 \theta -\frac{1}{6} \pi)
M:往復質量/気筒 S:ストローク ω:角速度 πn/30
n:エンジン回転数 rpm

左右バンクの水平方向を合成

右方向を+とすると1-3-5-7-9-11は逆向きに作用するので符号を逆にして加算する
\displaystyle \sin(\frac{1}{6} \pi)(-6 \cos 6 \theta + 6 \cos (6 \theta -\frac{\pi}{3} ))
\displaystyle =-6\sin(\frac{1}{6} \pi)(\cos 6 \theta - \cos (6 \theta -\frac{\pi}{3} ))
\displaystyle =6\sin(\frac{1}{6} \pi) 2 \sin (6 \theta - \frac{1}{6} \pi) \sin(\frac{1}{6} \pi )
\displaystyle =12 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \sin (6 \theta - \frac{1}{6} \pi)
\displaystyle =3 \sin (6 \theta - \frac{1}{6} \pi)
単気筒エンジンの3倍となる。
実際の慣性力の値は、以下のとおりである。
\displaystyle F=M \omega^2 \frac{27}{16384 \lambda^5} \sin (6 \theta - \frac{1}{6} \pi)
M:往復質量/気筒 S:ストローク ω:角速度 πn/30
n:エンジン回転数 rpm

1次慣性偶力

直列6気筒エンジンをV型に連結した構造であり、直列6気筒エンジンではモーメントが発生しないので、V12でも発生しない。

2次慣性偶力

直列6気筒エンジンをV型に連結した構造であり、直列6気筒エンジンではモーメントが発生しないので、V12でも発生しない。