V型8気筒エンジンの慣性力・偶力(クロスプレーン)

icon 項目のみ表示/展開表示の切り替え

概要

本ページはHTML5でSVGを使用しています。閲覧には、対応したブラウザを使用してください。
JavaScriptでエンジンの各図を動かしていますので、JavaScriptが動作するようにしてください。
以下のV型8気筒4ストロークエンジンについて解析する。
シリンダは前から左バンクが1,3,5,7、右バンクが2,4,6,8の順番である。
前から見るとエンジンは右回転である。
クランクシャフトは、クロスプレーンである。
点火順序は 1-8-4-3-6-5-7-2　とする。
点火間隔は720度/8=90度である。
バンク角は90度である。
クランクピンは左右バンクで共有している。
クランクピンの配置は、下図のとおりである。
1,2 3,4 5,6 7,8 SVGの代替画像
角度θ=
フォームに角度を入力して指定角度をクリックすると横断図・平面図・等角投影図が変化します。
自動回転をクリックするとエンジンが回転します。回転を止めるにはSTOPをクリックします。
平面図の右の正面図はエンジンのすりこ木運動によるクランクシャフトの軌跡です。
等角投影図は1次慣性偶力によるエンジンのすりこ木運動をエミュレーションしています。
等角投影図の赤い線がクランクシャフトです。
※θはクランクシャフトを中心としシリンダ1の上死点下死点方向から右回りの角度である。

各シリンダの横断図・平面図・等角投影図(1次慣性偶力)

z x y z y SVGの代替画像

特徴

高級車向けでFR専用エンジンである。
国産の日本向けの車ではトヨタのみ生産している。
1次慣性力、2次慣性力はバランスしているが、偶力が発生するので、前後のウェブに大きなウェイトを設けて、偶力を打ち消している。さらに足らずに3,4気筒目と5,6気筒目にも小さなウェイトを設ける場合もある。
偶力によるすりこ木運動は真円なのでウェイトで打消し可能である。
メインベアリングは5個となる。

各気筒の行程

下図は青が吸気バルブが開いている期間、赤が排気バルブが開いている期間を示している。グラフの左側の数字はシリンダ番号を示している。
例えば左バンクに注目すると5,7シリンダは90度間隔となっている。1,3シリンダは270度間隔、3,5シリンダ及び7,1シリンダは180度間隔となっており等間隔ではない。
特に5,7シリンダは間隔が狭く、吸気及び排気が干渉しやすい。例えば7シリンダが排気を始めようとしているとき5シリンダが排気中なので、排気管の圧力が高く、7シリンダの排気は抜けにくく、シリンダの中に排気がわだかまりやすい。
また、通常シリンダの外側で片バンクずつ排気管をまとめて排気されるため、排気間隔が等間隔でないため、排気音がドロドロした音になる。アメリカのV8エンジンがドロドロしているのはこのためである。
フェラーリはクロスプレーンでないため排気干渉が発生しない。
BMWのV8エンジンの一部は、バンク内側に排気管をとりまわし等長排気としている。
同様にSUBARUの水平対向4気筒エンジンで等長マニホールドでない場合、右バンクと左バンクで排気管の長さが異なる（運転席側に排気管をまとめている）ので、右と左で排気のぶつかるタイミングが異なるため、ドタドタした音がする。
SVGの代替画像

1次慣性力

エンジンが1回転に1回発生する成分で、cos \theta に係数を乗じたものである。

左バンク1-3-5-7シリンダ

\displaystyle \cos \theta + \cos (\theta-\frac{3}{2} \pi)+\cos (\theta-\frac{1}{2} \pi)+\cos (\theta- \pi)
180度位相が異なるものをまとめると打ち消しあい0となる。
\displaystyle =\cos \theta +\cos (\theta- \pi) + \cos (\theta-\frac{3}{2} \pi)+\cos (\theta-\frac{1}{2} \pi)=0
1次慣性力はキャンセルされる。

左バンク2-4-6-8シリンダ

\displaystyle \cos (\theta - \frac{1}{2}\pi) + \cos (\theta-\pi)+\cos (\theta-2 \pi)+\cos (\theta- \frac{3}{2}\pi)
180度位相が異なるものをまとめると打ち消しあい0となる。
\displaystyle \cos (\theta - \frac{1}{2}\pi) +\cos (\theta- \frac{3}{2}\pi)+ \cos (\theta-\pi)+\cos (\theta-2 \pi)=0

左右バンクを合成

各バンクで1次慣性力が発生していないので合成しても1次慣性力は発生しない。

2次慣性力

エンジンが1回転に2回発生する成分で、cos 2\theta に係数を乗じたものである。

上死点下死点方向を水平と垂直成分に分解する

R Rh Rv α L Lh -Lh Lv α 0 x y SVGの代替画像
αがバンク角の半分の角度、Lが左側の上死点下死点方向の力、Rが右側の上死点下死点方向の力、LhはL水平方向の成分、LvはLの鉛直方向の成分、RhはR水平方向の成分、RvはRの鉛直方向の成分を表す。
各成分は以下の式で算定できる。αが45度の場合も示す。
\displaystyle Lh=L \cos \alpha=\frac{1}{\sqrt 2} L
\displaystyle Lv=L \sin \alpha=\frac{1}{\sqrt 2} L
\displaystyle Rh=R \cos \alpha=\frac{1}{\sqrt 2} R
\displaystyle Rv=R \sin \alpha=\frac{1}{\sqrt 2} R
単気筒エンジンを左右それぞれに45度傾けて設置されているエンジンとして解析する。
上死点下死点方向を垂直方向に変換する

シリンダ1-2

\displaystyle \cos \frac{1}{4} \pi=\cos (- \frac{1}{4} \pi)=\frac{1}{\sqrt 2}
\displaystyle \frac{1}{\sqrt 2} ( \cos 2 \theta + \cos (2\theta - \frac{1}{2} \pi ) )
\displaystyle =\frac{1}{\sqrt 2} (2 \cos(2 \theta -\frac{1}{4} \pi) \cos (\frac{1}{4} \pi ) )
\displaystyle = \cos(2 \theta -\frac{1}{4} \pi)

シリンダ3-4

\displaystyle \frac{1}{\sqrt 2} ( \cos 2( \theta + \frac{1}{2} \pi) + \cos (2( \theta + \frac{1}{2} \pi)-\frac{1}{2} \pi )
\displaystyle \frac{1}{\sqrt 2} ( \cos ( 2\theta + \pi) + \cos ( 2 \theta + \frac{1}{2} \pi )
\displaystyle \frac{1}{\sqrt 2} ( 2 \cos ( 2 \theta + \frac{3}{4} \pi) \cos ( \frac{1}{4} \pi ))
\displaystyle \cos ( 2 \theta + \frac{3}{4} \pi)

シリンダ5-6

\displaystyle \frac{1}{\sqrt 2} ( \cos 2( \theta - \frac{1}{2}\pi) + \cos (2( \theta - \frac{1}{2}\pi) - \frac{1}{2}\pi))
\displaystyle \frac{1}{\sqrt 2} ( \cos ( 2 \theta - \pi) + \cos ( 2 \theta - \frac{3}{2}\pi) )
\displaystyle \frac{1}{\sqrt 2} ( 2 \cos ( 2 \theta - \frac{5}{4} \pi) \cos ( -\frac{1}{4} \pi ))
\displaystyle \cos ( 2 \theta - \frac{5}{4} \pi)

シリンダ7-8

\displaystyle \frac{1}{\sqrt 2} ( \cos 2( \theta + \pi) + \cos (2 ( \theta + \pi)-\frac{1}{2}\pi) )
\displaystyle \frac{1}{\sqrt 2} ( \cos ( 2 \theta + 2 \pi) + \cos ( 2 \theta + \frac{3}{2} \pi) )
\displaystyle \frac{1}{\sqrt 2} ( 2 \cos ( 2 \theta + \frac{7}{4} \pi) \cos ( \frac{1}{4} \pi ))
\displaystyle \cos ( 2 \theta + \frac{7}{4} \pi)

シリンダ1-2-7-8

\displaystyle \cos(2 \theta -\frac{1}{4} \pi)+\cos ( 2 \theta + \frac{7}{4} \pi)
\displaystyle =-2 \cos ( 2 \theta +\frac{3}{4} \pi)

シリンダ3-4-5-6

\displaystyle \cos ( 2 \theta + \frac{3}{4} \pi)+ \cos ( 2 \theta - \frac{5}{4} \pi)
\displaystyle =2 \cos( 2 \theta - \frac{1}{4} \pi)

シリンダ1-2-7-8-3-4-5-6

\displaystyle 2 ( \cos ( 2 \theta -\frac{1}{4} \pi) - \cos( 4 \theta + \frac{3}{4} \pi) )
\displaystyle 2 ( 2 \cos (2 \theta +\frac{1}{2} ) \cos ( \frac{1}{2} \pi)=0
2次慣性力は発生しない。

4次慣性力

解法1 各バンクごとに解く

シリンダ1-3-5-7

\displaystyle \cos 4 \theta + \cos 4(\theta - \frac{1}{2} \pi) + \cos 4(\theta - \pi) + \cos 4(\theta - \frac{3}{2} \pi)
\displaystyle =\cos 4 \theta + \cos (4 \theta - 2 \pi) + \cos (4 \theta - 4 \pi) + \cos (4 \theta - 6 \pi)
\displaystyle =4 \cos 4 \theta

シリンダ2-4-6-8

\displaystyle \cos (4 \theta - \frac{1}{2} \pi) + \cos ( 4(\theta - \frac{1}{2} \pi)- \frac{1}{2} \pi) + \cos (4(\theta - \pi)- \frac{1}{2} \pi) + \cos (4(\theta - \frac{3}{2} \pi)- \frac{1}{2} \pi)
\displaystyle =\cos (4 \theta -\frac{1}{2} \pi)+ \cos (4 \theta - \frac{5}{2} \pi) + \cos (4 \theta - \frac{9}{2} \pi) + \cos (4 \theta - \frac{13}{2} \pi)
\displaystyle =\cos (4 \theta -\frac{1}{2} \pi)+ \cos (4 \theta - \frac{1}{2} \pi) + \cos (4 \theta - \frac{1}{2} \pi) + \cos (4 \theta - \frac{1}{2} \pi)
\displaystyle =4 \cos (4 \theta -\frac{1}{2} \pi)

左右バンクを合成して鉛直方向に変換

上死点下死点方向を鉛直方向に変換して加算する。
各気筒を合成した慣性力は下式となる
\displaystyle \frac{4}{\sqrt 2} \cos 4 \theta + \frac{4}{\sqrt 2} \cos (4 \theta - \frac{1}{2} \pi)
\displaystyle =\frac{4}{\sqrt 2} (\cos 4 \theta + \cos (4 \theta - \frac{1}{2} \pi))
\displaystyle =\frac{4}{\sqrt 2} 2 \cos (4 \theta - \frac{1}{4}\pi) \cos \frac{1}{4} \pi
\displaystyle =\frac{4}{\sqrt 2} \frac{1}{\sqrt 2}2 \cos (4 \theta - \frac{1}{4}\pi)
\displaystyle =4 \cos (4 \theta - \frac{1}{4}\pi)
実際の慣性力の値は、以下のとおりである。
\displaystyle F=-2 M \omega^2 S (\frac{1}{32 \lambda^3} + \frac{3}{1024 \lambda^5} )\cos (4 \theta - \frac{1}{4}\pi)
M:往復質量/気筒 S:ストローク ω:角速度 πn/30
n:エンジン回転数 rpm

左右バンクを合成して水平方向に変換

上死点下死点方向を水平方向に変換して加算する。
各気筒を合成した慣性力は下式となる
\displaystyle -\frac{4}{\sqrt 2} \cos 4 \theta + \frac{4}{\sqrt 2} \cos (4 \theta - \frac{1}{2} \pi)
\displaystyle =\frac{4}{\sqrt 2} ( \cos (4 \theta - \frac{1}{2} \pi) -\cos 4 \theta )
\displaystyle =-2 \frac{4}{\sqrt 2} \sin ( 4 \theta -\frac{1}{4} \pi) \sin (-\frac{1}{4} \pi)
\displaystyle =2 \frac{4}{\sqrt 2} \frac{1}{\sqrt 2} \sin ( 4 \theta -\frac{1}{4} \pi)
\displaystyle =4 \sin ( 4 \theta -\frac{1}{4} \pi)
実際の慣性力の値は、以下のとおりである。
\displaystyle F=-2 M \omega^2 S (\frac{1}{32 \lambda^3} + \frac{3}{1024 \lambda^5} ) \sin ( 4 \theta -\frac{1}{4} \pi)
M:往復質量/気筒 S:ストローク ω:角速度 πn/30
n:エンジン回転数 rpm

解法2 クランクピンを共有するシリンダごとに解く

シリンダ1-2

各気筒を合成した慣性力は下式となる
\displaystyle \frac{1}{\sqrt 2} ( \cos (4 \theta ) + \cos (4\theta - \frac{1}{2} \pi ))
\displaystyle =\frac{1}{\sqrt 2} (2 \cos(4 \theta -\frac{1}{4} \pi) \cos (\frac{1}{4} \pi ))
\displaystyle =\cos(4 \theta -\frac{1}{4} \pi)

シリンダ3-4

各気筒を合成した慣性力は下式となる
\displaystyle \frac{1}{\sqrt 2} ( \cos 4( \theta + \frac{1}{2} \pi) + \cos (4( \theta + \frac{1}{2} \pi)-\frac{1}{2} \pi )
\displaystyle \frac{1}{\sqrt 2} ( \cos ( 4\theta + 2\pi) + \cos ( 4 \theta + \frac{3}{2} \pi )
\displaystyle \frac{1}{\sqrt 2} ( 2 \cos ( 4 \theta + \frac{7}{4} \pi) \cos ( \frac{1}{4} \pi ))
\displaystyle \cos ( 4 \theta + \frac{7}{4} \pi)

シリンダ5-6

各気筒を合成した慣性力は下式となる
\displaystyle \frac{1}{\sqrt 2} ( \cos 4( \theta - \frac{1}{2}\pi) + \cos (4( \theta - \frac{1}{2}\pi) - \frac{1}{2}\pi))
\displaystyle \frac{1}{\sqrt 2} ( \cos ( 4 \theta - 2 \pi) + \cos ( 4 \theta - \frac{5}{2}\pi))
\displaystyle \frac{1}{\sqrt 2} ( 2 \cos ( 4 \theta - \frac{9}{4} \pi) \cos ( \frac{1}{4} \pi))
\displaystyle \cos ( 4 \theta - \frac{9}{4} \pi)

シリンダ7-8

各気筒を合成した慣性力は下式となる
\displaystyle \frac{1}{\sqrt 2} ( \cos 4( \theta + \pi) + \cos (4 ( \theta + \pi)-\frac{1}{2}\pi))
\displaystyle \frac{1}{\sqrt 2} ( \cos ( 4 \theta + 4 \pi) + \cos ( 4 \theta + \frac{7}{2} \pi))
\displaystyle \frac{1}{\sqrt 2} ( 4 \cos ( 2 \theta + \frac{7}{4} \pi) \cos ( \frac{1}{4} \pi))
\displaystyle \cos ( 4 \theta + \frac{7}{4} \pi)

シリンダ1-2-7-8を合成

\displaystyle \cos(4 \theta -\frac{1}{4} \pi)+\cos ( 4 \theta + \frac{7}{4} \pi)
\displaystyle =2 \cos ( 4 \theta + \frac{3}{4}\pi) \cos (- \pi)
\displaystyle =-2 \cos ( 4 \theta + \frac{3}{4} \pi)

シリンダ3-4-5-6を合成

\displaystyle \cos ( 4 \theta + \frac{7}{4} \pi)+ \cos ( 4 \theta -\frac{9}{4} \pi)
\displaystyle =2 \cos( 4 \theta -\frac{1}{4} \pi) \cos( 2 \pi)
\displaystyle =2 \cos( 4 \theta -\frac{1}{4} \pi)

シリンダ1-2-7-8-3-4-5-6を鉛直方向に合成

\displaystyle 2 (\cos (4 \theta -\frac{1}{4} \pi) - \cos (4 \theta + \frac{3}{4}\pi))
\displaystyle =-4 \sin (4 \theta +\frac{1}{4} \pi) \sin (- \frac{1}{2}\pi)
\displaystyle =-4 \sin (4 \theta +\frac{1}{4} \pi) \sin (- \frac{1}{2}\pi)
\displaystyle =4 \sin (4 \theta +\frac{1}{4} \pi)

シリンダ1-2-7-8-3-4-5-6を水平方向に合成

\displaystyle 2 (\cos (4 \theta -\frac{1}{4} \pi) + \cos (4 \theta + \frac{3}{4}\pi))
\displaystyle =4 \cos (4 \theta +\frac{1}{4} \pi) \cos (- \frac{1}{2}\pi)
\displaystyle =-4 \cos (4 \theta +\frac{1}{4} \pi)

6次慣性力

エンジンが1回転に6回発生する成分で、cos 6\theta に係数を乗じたものである。
各バンクのシリンダは、クランク位置が90度ずつずれている。
6次慣性力なので、90度×6=540度であり、6次慣性力に対しては180度ずつずれていることになる。
したがって、各バンク内で慣性力はキャンセルされる。

1次慣性偶力

クロスプレーンのV8エンジンの各バンクの前後の中心に対して前後の動作が対称ではない。これにより各バンクの前後のバランスが対称でないため、モーメントが発生する。
ここでは、左右間のボアのずれを無視して解析する。

1-3-5-7のストローク方向のモーメント

各気筒を合成したモーメントは下式となる 
1     3         5              7
0度 -270度 -450度(-90度) -540度(-180度)<
\displaystyle 1.5a \cos \theta + 0.5a \cos ( \theta - \frac{3}{2} \pi) - 0.5a \cos ( \theta - \frac{5}{2} \pi)- 1.5a \cos ( \theta - \frac{6}{2} \pi)
\displaystyle =1.5a (\cos \theta - \cos ( \theta - \frac{6}{2} \pi) )+ 0.5a ( \cos ( \theta - \frac{3}{2} \pi) - \cos ( \theta - \frac{5}{2} \pi))
\displaystyle =-3a ( \sin \frac{2 \theta - \frac{6}{2} \pi }{2} \sin \frac{ \frac{6}{2} \pi}{2} )-a ( \sin \frac{ 2 \theta - \frac{8}{2} \pi}{2} \sin \frac{\frac{2}{2} \pi }{2})
\displaystyle =-3a \sin ( \theta - \frac{3}{2} \pi) \sin \frac{3}{2} \pi -a ( \sin ( \theta - 2 \pi) \sin \frac{1}{2} \pi )
\displaystyle =3a \sin ( \theta - \frac{3}{2} \pi) - a \sin \theta

2-4-6-8のストローク方向のモーメント

各気筒を合成したモーメントは下式となる 
8     4         6           2
-90度 -180度 -360度(0度) -630度(-270度)
\displaystyle -1.5a \cos ( \theta - \frac{1}{2} \pi)+ 0.5a \cos ( \theta - \pi) - 0.5a \cos \theta + 1.5a \cos ( \theta - \frac{3}{2} \pi)
\displaystyle =-1.5a ( \cos ( \theta - \frac{1}{2} \pi) - \cos ( \theta - \frac{3}{2} \pi) )+ 0.5a (\cos ( \theta - \pi) - \cos \theta )
\displaystyle =3a \sin \frac{2 \theta - \frac{4}{2}\pi }{2} \sin \frac{\frac{2}{2} \pi}{2} -a \sin \frac{2 \theta - \pi }{2} \sin \frac{-\pi }{2}
\displaystyle =3a \sin (\theta - \pi ) \sin (\frac{1}{2} \pi) -a \sin (\theta - \frac{1}{2}\pi ) \sin (-\frac{1}{2}\pi)
\displaystyle =3a \sin (\theta - \pi ) +a \sin (\theta - \frac{1}{2}\pi )
\displaystyle =-3a \sin \theta +a \sin (\theta - \frac{1}{2}\pi )

鉛直方向に変換し加算

\displaystyle =\frac{1}{\sqrt 2}3a \sin ( \theta - \frac{3}{2} \pi) -\frac{1}{\sqrt 2}a \sin \theta -\frac{1}{\sqrt 2} 3a \sin \theta +\frac{1}{\sqrt 2} a \sin (\theta - \frac{1}{2}\pi )
\displaystyle =\frac{1}{\sqrt 2}3a ( \sin ( \theta - \frac{3}{2} \pi) - \sin \theta ) -\frac{1}{\sqrt 2}a ( \sin \theta + \sin (\theta - \frac{1}{2}\pi ))
\displaystyle =\frac{2}{\sqrt 2}3a ( \sin \frac{- \frac{3}{2} \pi}{2} \cos \frac{2 \theta -\frac{3}{2} \pi }{2}) -\frac{2}{\sqrt 2}a ( \sin \frac{\frac{1}{2} \pi}{2} \cos \frac{2 \theta -\frac{1}{2} \pi}{2}))
\displaystyle =\frac{2}{\sqrt 2}3a ( \sin (- \frac{3}{4} \pi) \cos ( \theta -\frac{3}{4} \pi )) -\frac{2}{\sqrt 2}a ( \sin (\frac{1}{4} \pi) \cos (\theta-\frac{1}{4} \pi))
\displaystyle =-\frac{2}{\sqrt 2}3a \frac{1}{\sqrt 2} \cos ( \theta -\frac{3}{4} \pi ) -\frac{2}{\sqrt 2}a \cos (\theta -\frac{1}{4} \pi) \frac{1}{\sqrt 2}
-3a \cos ( \theta -\frac{3}{4} \pi ) - a \cos (\theta -\frac{1}{4} \pi)
を簡略に解くために、ベクトル図を使用する。
ベクトル1とベクトル2を合成すると下図のとおりとなる。
x y -1/4π -3/4π 3 1 θ L SVGの代替画像
\displaystyle =-(3a \sin ( \theta -\frac{3}{4} \pi ) + a \sin (\theta -\frac{1}{4} \pi))
\displaystyle L=\sqrt { 3^2 +1 ^2 }=\sqrt 10
\displaystyle \theta =-\frac{1}{4} \pi- \tan ^{-1} 3 =2.034444
\displaystyle =-\sqrt {10} a \cos ( \theta -\frac{1}{4} \pi -\tan ^{-1}\ 3)
実際の慣性偶力の値は、以下のとおりである。
\displaystyle -M \omega^2 \frac{S}{2}\sqrt {10} a \cos ( \theta -\frac{1}{4} \pi -\tan ^{-1}\ 3)
M:往復質量/気筒 S:ストローク ω:角速度 πn/30
n:エンジン回転数 rpm

水平方向に変換し加算

エンジンの重心を中心とし、バンク方向を水平に変換し左右方向の力を算定し、合成する。
それぞれ左右方向に変換すると
右方向を+とすると1-3-5-7は逆向きに作用するので符号を逆にして加算する。 各気筒を合成したモーメントは下式となる
\displaystyle =\frac{1}{\sqrt 2}3a \sin ( \theta - \frac{3}{2} \pi) -\frac{1}{\sqrt 2}a \sin \theta +\frac{1}{\sqrt 2} 3a \sin \theta -\frac{1}{\sqrt 2} a \sin (\theta - \frac{1}{2}\pi )
\displaystyle =\frac{1}{\sqrt 2}3a ( \sin ( \theta - \frac{3}{2} \pi) + \sin \theta ) -\frac{1}{\sqrt 2}a ( \sin \theta +\sin (\theta - \frac{1}{2}\pi ))
\displaystyle =\frac{1}{\sqrt 2}6a (\sin \frac{2 \theta - \frac{3}{2} \pi}{2} \cos \frac{\frac{3}{2} \pi}{2}) - \frac{1}{\sqrt 2} 2a ( \sin \frac{2 \theta -\frac{1}{2} \pi }{2} \cos \frac{\frac{1}{2} \pi}{2}
\displaystyle =\frac{1}{\sqrt 2}6a (\sin ( \theta - \frac{3}{4} \pi) (\cos \frac{3}{4} \pi)) - \frac{1}{\sqrt 2} 2a ( \sin ( \theta -\frac{1}{4} \pi ) \cos \frac{1}{4} \pi)
\displaystyle =\frac{1}{\sqrt 2}6a (\sin ( \theta - \frac{3}{4} \pi) \frac{-1}{\sqrt 2}) - \frac{1}{\sqrt 2} 2a ( \sin ( \theta -\frac{1}{4} \pi ) \frac{1}{\sqrt 2})
\displaystyle =-3 a \sin ( \theta - \frac{3}{4} \pi) - a \sin ( \theta -\frac{1}{4} \pi)
\displaystyle =-a (3 \sin ( \theta - \frac{3}{4} \pi) + \sin ( \theta -\frac{1}{4} \pi ))
\displaystyle =-\sqrt 10 a \sin ( \theta - \frac{1}{4} \pi -\tan ^{-1} 3)
実際の慣性偶力の値は、以下のとおりである。
\displaystyle -M \omega^2 \frac{S}{2} \sqrt{10} a \sin ( \theta - \frac{1}{4} \pi -\tan ^{-1} 3)
M:往復質量/気筒 S:ストローク ω:角速度 πn/30
n:エンジン回転数 rpm

2次慣性偶力

上死点下死点方向

シリンダ1,3,5,7

1     3         5              7
0度 -270度 -450度(-90度) -540度(-180度)
各気筒を合成したモーメントは下式となる
\displaystyle 1.5a \cos 2\theta + 0.5a \cos 2(\theta - \frac{3}{2} \pi) - 0.5a \cos 2( \theta - \frac{5}{2} \pi)- 1.5a \cos 2( \theta - \frac{6}{2} \pi)
\displaystyle =1.5a (\cos 2 \theta - \cos (2\theta - 6 \pi) )+ 0.5a ( \cos ( 2\theta - 3 \pi) - \cos ( 2\theta - 5 \pi))
\displaystyle =-3a ( \sin \frac{4 \theta - 6 \pi }{2} \sin \frac{ 6 \pi}{2} )-a ( \sin \frac{ 4 \theta - 8 \pi}{2} \sin \frac{2 \pi }{2})
\displaystyle =-3a \sin (2 \theta - 3 \pi) \sin 3 \pi -a ( \sin ( 2\theta - 2 \pi) \sin \pi )=0

シリンダ2,4,6,8

右バンクは左バンクに対して位相が90度ずれているので、左バンクと同様に2次モーメントは発生しない。

鉛直方向

上死点下死点方向のモーメントが発生しないので、鉛直方向も発生しない。

水平方向

上死点下死点方向のモーメントが発生しないので、水平方向も発生しない。