直列2気筒(270度クランク)エンジンの慣性力・偶力

概要

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以下の直列2気筒4ストロークエンジンについて慣性力及び慣性偶力を解析する。
シリンダは前から1,2の順番である。
前から見るとエンジンは右回転である。
点火順序は 1-2　とする。
点火間隔は270度 450度・・・であり等間隔でない。
クランクピンの配置は、下図のとおりである。

角度を入力して指定角度をクリックすると横断図及び右側面図が変化します。
自動回転をクリックするとエンジンが回転します。回転を止めるにはSTOPをクリックします。

※θはクランクシャフトを中心とし鉛直方向とクランクピンに挟まれた右回りの角度である。
各シリンダー横断図・右側面図

特徴

自動車では採用されないが、バイクでは、ヤマハ XSR700 やホンダNC750で採用されている。

各気筒の行程

下図は青が吸気バルブが開いている期間、赤が排気バルブが開いている期間を示している。グラフの左側の数字はシリンダ番号を示している。

1次慣性力

エンジンが1回転に1回発生する成分で、 $cos \theta$ に係数を乗じたものである。
各気筒を合成した慣性力は下式となる。
$\cos \theta +\cos (\theta - \frac{3} {2}\pi)$
以下の和積の公式を使用して、上式を変形する。

$\displaystyle \cos a-\cos b=-2 \sin (\frac{a+b}{2}) \sin(\frac{a-b}{2})$

$\displaystyle a=\theta$
$\displaystyle b=\theta - \frac{3} {2}\pi$
$\cos \theta +\cos (\theta - \frac{3} {2}\pi)=$
$\displaystyle =2 \cos { \frac{\theta + \theta - \frac{3} {2}\pi}{2}} \cos { \frac{\theta - \theta + \frac{3} {2}\pi}{2}}$
$\displaystyle =2 \cos (\theta - \frac{3} {4} \pi) \cos \frac{3} {4}\pi$
$\displaystyle = \sqrt 2 \sin (\theta - \frac{3} {4} \pi)$

実際の慣性偶力の値は、以下のとおりである。
$F=\frac{1}{\sqrt 2} M \omega^2 s \cos (\theta - \frac{3} {4} \pi)$
M:往復質量/気筒 S:ストローク
ω:角速度 πn/30
n:エンジン回転数 rpm

2次慣性力

エンジンが1回転に2回発生する成分で、 $cos 2 \theta$ に係数を乗じたものである。
各気筒を合成した慣性力は下式となる。
$\cos 2 \theta+\cos 2(\theta - \frac{3} {2} \pi)$
$\displaystyle a=2 \theta$
$\displaystyle b=2 \theta - 3 \pi$
$\displaystyle =2 \cos \frac{2 \theta + 2 \theta - 3 \pi}{2} \cos \frac{2 \theta - 2 \theta + 3 \pi} {2}$
$\displaystyle =2 \cos (2 \theta - \frac{3} {2} \pi) \cos \frac{3} {2}\pi$
$\displaystyle =2 \cos (2 \theta - \frac{3} {2} \pi) =0$
２つのシリンダで打ち消し合う。

4次慣性力

エンジンが1回転に4回発生する成分で、 $cos 4 \theta$ に係数を乗じたものである。
各気筒を合成した慣性力は下式となる。
$\cos 4 \theta+\cos 4(\theta - \frac{3}{2} \pi)= \cos 4 \theta+\cos ( 4 \theta -6 \pi)=2 \cos 4 \theta$
以上の結果より4次慣性力は単気筒の2倍となる。
実際の慣性力の値は、以下のとおりである。
$\displaystyle F=-M \omega^2 S (\frac{1}{32 \lambda^3}+\frac{3}{1024 \lambda^5})\cos 4 \theta$
M:往復質量/気筒 S:ストローク ω:角速度 πn/30
n:エンジン回転数 rpm

6次慣性力

エンジンが1回転に6回発生する成分で、 $cos 6\theta$ に係数を乗じたものである。
各気筒を合成した慣性力は下式となる。
$\cos 6 \theta+\cos 6(\theta - \frac{3}{2} \pi)=\cos 6 \theta+\cos (6 \theta - 9 \pi)=2 \cos 6 \theta$
以上の結果より6次慣性力は単気筒の2倍となる。
実際の慣性力の値は、以下のとおりである。
$\displaystyle F=M \omega^2 S \frac{9}{4096 \lambda^5}\cos 6 \theta$
M:往復質量/気筒 S:ストローク ω:角速度 πn/30
n:エンジン回転数 rpm

1次慣性偶力

直列2気筒(270度クランク)エンジンはエンジンの前後方向が重心に対して対称に力が働かないため、エンジンが前後に動こうとする。
1気筒目が上に動く方向を+とすると重心に対して左回りが+となる、2気筒目は1気筒目と重心に対して逆方向なので符号を反対にする。
1気筒と2気筒がエンジンの中心とする。
モーメントは、力×距離なので、ボアピッチをaとすると
各気筒のモーメントを合成すると下式となる。
$\displaystyle \frac{a}{2} \cos \theta - \frac{a}{2} \cos ( \theta - \frac{3} {2} \pi )$
$\displaystyle a=\theta$
$\displaystyle b=\theta- \frac{3} {2} \pi$
$\displaystyle =-2a \sin \frac{2 \theta-\frac{2}{3} \pi}{2} \sin \frac{\frac{3}{2} \pi}{2}$
$\displaystyle =-2a \sin (\theta-\frac{3}{4} \pi )\sin \frac{3}{4} \pi$
$\displaystyle =2a \frac{1}{\sqrt 2} \sin (\theta-\frac{3}{4} \pi )$
$\displaystyle =-a \sqrt 2 \sin (\theta-\frac{3}{4} \pi )$
上記の式よりエンジンの回転に合わせてエンジン前後が上がり下がりすることがわかる。
実際の慣性偶力の値は、以下のとおりである。
$\displaystyle M \omega^2 \frac{S}{2} a \frac{1}{\sqrt 2} \sin (\theta-\frac{3}{4} \pi )$
M:往復質量/気筒 S:ストローク
ω:角速度 πn/30
n:エンジン回転数 rpm

2次慣性偶力

直列2気筒エンジンはエンジンの前後方向が重心に対して対称に力が働かないため、エンジンが前後に動こうとする。
1気筒目が上に動く方向を+とすると重心に対して左回りが+となる、2気筒目は1気筒目と重心に対して逆方向なので符号を反対にする。
モーメントは、力×距離なので、ボアピッチをaとすると
$\displaystyle a \frac{1}{2} \cos 2\theta - a \frac{1}{2} \cos 2( \theta -\frac{3}{2} \pi)$
$\displaystyle a= 2 \theta$
$\displaystyle b= 2(\theta-\frac{3}{2} \pi)=2 \theta-3 \pi$
$\displaystyle =-a \sin \frac{2 \theta +2 \theta-3 \pi}{2} \sin \frac{2 \theta -2 \theta +3 \pi}{2}$
$\displaystyle =-a \sin (2 \theta-\frac{3}{2} \pi )\sin \frac{3}{2} \pi$
$\displaystyle =a \sin (2 \theta-\frac{3}{2} \pi )$
上記の式よりエンジンの回転に合わせてエンジン前後が2倍の周期で上がり下がりすることがわかる。
実際の慣性偶力の値は、以下のとおりである。
$\displaystyle -M \omega^2 \frac{S}{2} (\frac{1}{2 \lambda} + \frac{1}{64 \lambda^3}+\frac{15}{4096 \lambda^5}) a \sin (2 \theta-\frac{3}{2} \pi )$
M:往復質量/気筒 S:ストローク
ω:角速度 πn/30
n:エンジン回転数 rpm

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