二次曲線(楕円)の標準形及び概形

以下の式で示される二次曲線を標準形にし楕円の概形を求め楕円を描画します。

以下の入力フォームに5つの係数を入力し計算ボタンをクリックすると二次曲線の方程式を標準形にし概形を求め楕円を描画します。
楕円以外の方程式の係数を入力すると動作が保証されません。

A=
B=
C=
D=
E=
F=



上式の2次の部分のみ取り出して、行列にする。

行列AA

行列AAの固有値は以下の通りとなる。(固有値、固有ベクトル)

行列AAの固有ベクトルはそれぞれ以下の通りとなる。


行列AAの固有ベクトルは正規化するとそれぞれ以下の通りとなる。


行列AAの固有ベクトルをそれぞれの列に代入すると直交行列Pが得られる。

行列P

Pの逆行列はP-1は以下のとおりである。(逆行列の計算(ピボット選択有))

行列P-1
行列P-1・AA・P

座標x'y'を変換行列Pでx,yで変換されているとすると以下の式が得られる。

以下の式よりx'y'を求める。


対角行列Pの要素と上記の式より以下の式を得る。





上記式で平方完成すると


楕円の軸半径は上記の式よりそれぞれ


今までの式を合成すると下記式が得られる

X,Yが楕円の原点座標となる。


X軸の傾きは行列Xの1列目より算出できる。

楕円の諸元は以下の通りとなる。

SVGソースは以下のとおりである。


SVGの代替画像