二元二次式の因数分解（解の公式を使用）

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概要

　未知数（変数）が2個(以下の式ではxとy)で二次式の場合を二元二次式といいます。
二元二次式を因数分解するにはたすき掛け方がよく使われますが、係数を推測するなどコンピューター向きではありません。ここでは二次方程式の解の公式を使用して解きます。
Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0

因数分解

　以下のフォームに入力してボタンをクリックすると変換できます。
Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0

A(x^2)=
B(xy)=
C(y^2)=
D(x)=
E(y)=
F(const)=

現在の計算結果へのURL
x以外をすべて定数(yも定数とみなす)とみなしてxの二次方程式として解の公式を使用して因数分解の結果を得ます。
\displaystyle x=\frac{-b' \pm \sqrt{b'^2-4a'c' }}{2a'}
a'=A
b'=By+D
c'={Cy}^2+Ey+F
として解の公式に代入する。
ルートの中をRとすると
R=b'^2-4a'c'
=(By+D)^2-4A({Cy}^2+Ey+F)
=B^2y^2-4ACy^2-4AEy+2ByD+D^2 -4AF
=(B^2-4AC)y^2-(2BD-4AE)y+D^2 -4AF

\sqrt{Ax^2+Cx+B}を計算する
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
より
\sqrt{Ax^2+Cx+B}=(\sqrt{A}x+\sqrt{B})
上式が成り立つには次の関係が成立した場合となります。| C |=2\sqrt{A} \sqrt{B}
今回は、


引き続き√Rからxを計算します。
\displaystyle x=\frac{-b' \pm \sqrt{R}}{2a'}
\displaystyle x=\frac{-(By+D) \pm \sqrt{R}}{2A}



Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+f=A(x-x1)(x-x2)
以上より因数分解の結果は以下のとおりです。

因数分解の結果を展開して計算し因数分解前と同意味の式になるか検証してみます。
(x+Gy+H)(x+Jy+K)=(x+Gy+H)x+(x+Gy+H)Jy+(x+Gy+H)K
A(x^2+Gxy+Hx+Jxy+GJy^2+JHy+Kx+GKy+HK)=A(x^2+(G+J)xy+GJy^2+(K+H)x+(JH+GK)y+HK)