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固有値、固有ベクトル

2024年01月15日(月) 12時02分更新

固有値、固有ベクトル

以下の入力フォームに2次正方行列の要素値を入力し計算ボタンをクリックすると固有値と固有ベクトルを求めます。

| a b |=,
| c d |=,


固有値

\(det \begin{pmatrix} a-\lambda & b \\ c & d-\lambda \\ \end{pmatrix}=0\)
\(\lambda^2-(a+d)\lambda+(ad-bc)=0\)

解の方程式でλを解く。
\(ax^2+bx+c=0\)

\(\displaystyle x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a}\)
\(a'=1\)
\(b'=-(a+d)\)
\(c'=ad-bc\)
\(\lambda = 6,4\)
ラムダの順序を入れ替える

固有ベクトル

下記式に上記で求めた固有値λを1個ずつ代入してxとyを求める
\(\begin{pmatrix} a-\lambda & b \\ c & d-\lambda \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix} (a-\lambda)x + by \\ cx+(d-\lambda)y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix}\)

固有ベクトル1

\(\lambda = 6\)
\(\begin{pmatrix} a-\lambda & b \\ c & d-\lambda \ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \ y \ \end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix} 5-6 & 1 \\ 1 & 5-6 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \ y \ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix}\)
\(v1=\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix}\)
\(-1x+1y=0,-1x=-1y\)
\(c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\\end{pmatrix} (c_1\ne 0)\)
正規化
\(\left| \begin{pmatrix} x \\ y \\ \end{pmatrix} \right|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{ (1)^2+(1)^2}=1.4142135623730951\)
\(\begin{pmatrix} \frac{x}{v1} \\ \frac{y}{v1} \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0.7071067811865475 \\ 0.7071067811865475 \\ \end{pmatrix}\)

固有ベクトル2

\(\lambda = 4\)
\(\begin{pmatrix} a-\lambda & b \\ c & d-\lambda \ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \ y \ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5-6 & 1 \\ 1 & 5-4 \\ \end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix} x \ y \ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix}\)
\(1x+1y=0, 1x=-1y\)
\(c_2 \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\\end{pmatrix} (c_2\ne 0)\)
正規化
\(v2=\left| \begin{pmatrix} x \\ y \\ \end{pmatrix} \right|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{ (-1)^2+(1)^2}=1.4142135623730951\)
\(\begin{pmatrix} \frac{x}{v1} \\ \frac{y}{v2} \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -0.7071067811865475 \\ 0.7071067811865475 \\ \end{pmatrix}\)

直交対角化

\(P=\begin{pmatrix} 0.7071067811865475 & -0.7071067811865475\\ 0.7071067811865475 & 0.7071067811865475 \\ \end{pmatrix}\)
逆行列P-1を求める。
\(\displaystyle P^{-1}=\frac{1}{0.7071067811865475\times 0.7071067811865475--0.7071067811865475\times 0.7071067811865475}\) \(\begin{pmatrix} 0.7071067811865475 & 0.7071067811865475\\ -0.7071067811865475 & 0.7071067811865475 \\ \end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix} 0.7071067811865475 & 0.7071067811865475\\ -0.7071067811865475 & 0.7071067811865475 \\ \end{pmatrix}\)
\(P^{-1}A=\begin{pmatrix} 0.7071067811865475 & 0.7071067811865475\\ -0.7071067811865475 & 0.7071067811865475 \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5 & 1\\ 1 & 5 \\ \end{pmatrix}\) \(=\begin{pmatrix} 4.242640687119285 & 4.242640687119285\\ -2.82842712474619 & 2.82842712474619 \\ \end{pmatrix}\)
\(P^{-1}AP=\begin{pmatrix} 4.242640687119285 & 4.242640687119285\\ -2.82842712474619 & 2.82842712474619 \\ \end{pmatrix} \) \(\begin{pmatrix} 0.7071067811865475 & -0.7071067811865475\\ 0.7071067811865475 & 0.7071067811865475 \\ \end{pmatrix}=\) \(\begin{pmatrix} 5.999999999999999 & 0\\ 0 & 3.999999999999999 \\ \end{pmatrix}\)