固有値、固有ベクトル

以下の入力フォームに2次正方行列の要素値を入力し計算ボタンをクリックすると固有値と固有ベクトルを求めます。
| a b |=,
| c d |=,


固有値

det \begin{pmatrix} a-\lambda & b \\ c & d-\lambda \\ \end{pmatrix}=0
\lambda^2-(a+d)\lambda+(ad-bc)=0

解の方程式でλを解く。
ax^2+bx+c=0

\displaystyle x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a}
a'=1
b'=-(a+d)
c'=ad-bc

固有ベクトル

下記式に上記で求めた固有値λを1個ずつ代入してxとyを求める
\begin{pmatrix} a-\lambda & b \\ c & d-\lambda \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} (a-\lambda)x + by \\ cx+(d-\lambda)y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix}

固有ベクトル1







正規化

固有ベクトル2







正規化


直交対角化


逆行列P-1を求める。