5点を通る楕円の方程式を求める

5点を通る楕円の方程式を算出します。
以下の入力フォームに5点の座標を入力し計算ボタンをクリックすると楕円の方程式を求めます。

(x1,y1)=,
(x2,y3)=,
(x3,y3)=,
(x4,y4)=,
(x5,y5)=,

楕円の中心が原点がからずれており回転している楕円は以下の式で表すことができます。

A,B,C,D,Eを変数とするとxとyが5組あれば5元連立方程式により計算することができます。
A,B,C,D,Eの係数となるX2,XY,Y2,X,Yを計算し5元連立方程式を作成します。

nXn2XnYnYn2XnYn
1
2
3
4
5

5元連立方程式をここでは逆行列の計算(ピボット選択有)を使用して解きます。
A,B,C,D,Eの係数を係数行列Kと置きます。
式の+1の部分を右辺に移動させ-1とし定数行列としてUと置きます。

係数行列K
定数行列U
未知数行列X

未知数行列Xは以下の式で求めることができます。

逆行列の計算結果を以下に示します。

行列K-1
行列の積は以下の式で表すことができます。

未知数行列Xを行列の積により計算すると下表のとおりとなります。
行列X
上表より楕円の方程式は以下の式となります。

楕円の原点および軸半径、傾きを計算するには二次曲線の標準形という手法を用います。