平面を数式で表す

3次元上の平面は3点で表すことができます。
一般的な平面の方程式は法線方向(平面と直角な線)と距離で平面を表す場合、 ax+by+cz+d=0
a,b,cは法線方向即ち法線ベクトルを示している。
\vec{n} = (a,b,c)
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A B C SVGの代替画像
ベクトルの外積より平面の法線ベクトルが算出できる。
\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC}
\vec{AB}=(Bu,Bv,Bw)=(Bx-Ax,By-Ay,By-Ay)
\vec{AC}=(Cu,Cv,Cz)=(Cx-Ax,Cy-Ay,Cy-Ay)
\vec{n} = (a,b,c)=\vec{AB} \times \vec{AC}=( Bv \cdot Cw-Bw \cdot Cv, Bw \cdot Cu - Bu \cdot Cw, Bu \cdot Cv - Bv \cdot Cu)
a,b,cが求まるので後はA点座標よりdが算出できる。

計算例

A(x,y,z)=(, , )
B(x,y,z)=(, , )
C(x,y,z)=(, , )



\vec{n} = (a,b,c)=\vec{AB} \times \vec{AC}





直線を数式で表す

D点とE点を結ぶ直線を考えます。
D点からFベクトル方向へ伸びる直線を考えます。
媒介変数tを使用すると
D+t \cdot \vec{F}
\vec{F}=(Ex-Dx,Ey-Dy,Ez-Dz)
(x,y,z)=(Dx,Dy,Dz)+t(Fx=Ex-Dx,Fy=Ey-Dy,Fz=Ez-Dz)
x=Dx+t \times  Fx
y=Dy+t \times  Fy
z=Dz+t \times  Fz
\displaystyle \frac{x-Dx}{Fx}=\frac{y-Dy}{Fy}=\frac{y-Dz}{Fz}=t

計算例

D(x,y,z)=(, , )
E(x,y,z)=(, , )



2点を通る直線と3点で示される平面との交点

平面の公式に直線の公式を代入してみます。
ax+by+cz+d=0
\displaystyle \frac{x-Dx}{Fx}=\frac{y-Dy}{Fy}=\frac{z-Dz}{Fz}=tより
x=Fx \cdot t+Dx
y=Fy \cdot t+Dy
z=Fz \cdot t+Dz
a(Fx \cdot t+Dx)+b(Fy \cdot t+Dy)+c(Fz \cdot t+Dz)+d=0
a Fx \cdot t+aDx+bFy \cdot t+bDy+cFz \cdot t+cDz+d=0
a Fx \cdot t+bFy \cdot t+cFz \cdot t=-aDx-bDy-cDz-d
(a Fx  +bFy +cFz)t=-aDx-bDy-cDz-d
\displaystyle t=-\frac{aDx+bDy+cDz+d}{a Fx  +bFy +cFz}
tが求まれば直線の公式よりx,y,zが求まる。

計算例

平面の公式
a=, b=, c=, d=

直線の公式
D(x,y,z)=(, , )
F(x,y,z)=(, , )