歯車の作成

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概要

本ページはHTML5でSVGを使用しています。閲覧には、対応したブラウザを使用してください。
JavaScriptで図を動かしていますので、JavaScriptが動作するようにしてください。
なお、角度の単位は特にこだわらない限りラジアンとします。
歯車の歯は、一般的にインボリュート曲線を使用しています。 インボリュート曲線は、円周(下図の黒)に巻きつけた糸(下図の紫色の線分)をほどくときの糸の先端が描く曲線 (下図の赤色の曲線)です。 具体的に円周は動かないとか、糸をどのようにほぐすのかわかりにくいのでアニメーションを作ってみました。 糸の右の先端の軌跡をつなげるとインボリュート曲線の出来上がりです。
a θ c (x1,y1) inv α b o α SVGの代替画像
\overline{ao} =rb
\stackrel{\frown}{ab}=rb \cdot \theta
\overline{ac}=rb \cdot \tan \alpha
\stackrel{\frown}{ab}から糸をほどいたのが\overline{ac}なので、
\stackrel{\frown}{ab}=\overline{ac}
よって、\theta=\tan \alpha
\mathrm{inv} \ \alpha=(\tan \alpha)-\alpha
\displaystyle r=\frac{rb}{\cos \alpha}
x1=r \cos (\mathrm{inv} \ \alpha)
y1=r \sin (\mathrm{inv} \ \alpha)
なおθの単位はラジアンです。

歯車の歯の作図

歯形

πm rk ピッチ円r0 rg ai rg a0c aki akc SVGの代替画像

歯形拡大

r=0.38m ck ha hf SVGの代替画像

各部寸法

JISの標準平歯車
d:ピッチ円直径
Z:歯数
\displaystyle m=\frac{d}{Z}
mはモジュールと呼びJISで推奨する標準値が定義されています。
以下にその一部の抜粋を示します。
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.8 1 1.25 1.5 2 2.5 3 4 5 6 8 10 12 16 20 25 32 40 50
図のha部がインボリュート曲線となっています。
モジュール m \displaystyle \frac{P}{\pi} 歯の大きさをミリメートル単位で表したもの基準ピッチを円周率π で除した値
ピッチ p \pi m 基準線上での隣の歯までの距離モジュールm を円周率(π) 倍した値
圧力角 α 20度 歯が基準線の法線に対して傾むいている角度
歯末（はずえ）のたけ ha 1.00m 基準線から歯先までの距離
歯元（はもと）のたけ hf 1.25m 基準線から歯底までの距離
歯たけ h 2.25m 歯先から歯底までの距離
かみ合い歯たけ hw 2.00m 相手歯車とかみ合う歯のたけ
頂げき c 0.25m 歯底から相手歯車の歯先までの距離(すき間)
歯底すみ肉部曲率半径 ρf 0.38m 歯面と歯底との間の曲率の半径

ピッチ円

\displaystyle r0=\frac{m \cdot z}{2}

基礎円

\displaystyle rg=r0 \cos ( \frac{20}{180}\pi)

歯先の角度

\displaystyle aki=\mathrm{inv} \cos ^{-1} \frac{rg}{rk}

歯先の半円弧角度

akc=a0c-(aki-a0i)

歯厚/2

\displaystyle a0c=\frac{\pi}{z \cdot 2}

歯先円

rk=r0+m

インボリュートピッチ円部の角度

\displaystyle a0i=\mathrm{inv} \cos ^{-1} \frac{rg}{r0}