3次方程式の解の導出

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3次方程式の解の導出

ax^3+bx^2+cx+d=0\ (a \neq 0)
上式の3次方程式のxを求めます。
まずx^3の係数が1になるように式をaで割ります。
\displaystyle x^3+\frac{b}{a}x^2+\frac{c}{a}x+\frac{d}{a}=0\ (a \neq 0)
x=y-\frac{b}{3a}
を代入すると
\displaystyle (y-\frac{b}{3a})^3+\frac{b}{a}(y-\frac{b}{3a})^2+\frac{c}{a}(y-\frac{b}{3a})+\frac{d}{a}=0
\displaystyle y^3-3y^2\frac{b}{3a}+3y\frac{b^2}{9a^2}-\frac{b^3}{27a^3} \displaystyle +\frac{b}{a}y^2-2\frac{b^2}{3a^2}y+\frac{b^3}{9a^3} \displaystyle +\frac{c}{a}y-\frac{bc}{3a^2} \displaystyle +\frac{d}{a}=0
\displaystyle y^3 -\frac{3}{3}\frac{b}{a} y^2+\frac{b}{a}y^2+\frac{3}{9}\frac{b^2}{a^2}y-\frac{2}{3}\frac{b^2}{a^2}y \displaystyle +\frac{c}{a}y-\frac{1}{27}\frac{b^3}{a^3}+\frac{1}{9}\frac{b^3}{a^3}-\frac{1}{3}\frac{bc}{a^2}+\frac{d}{a}=0
\displaystyle y^3+(-\frac{1}{3}\frac{b^2}{a^2}+\frac{c}{a})y+\frac{2}{27}\frac{b^3}{a^3}-\frac{1}{3}\frac{bc}{a^2}+\frac{d}{a}=0
式が長いので係数を変数に置き換える。
\displaystyle p=-\frac{1}{3}\frac{b^2}{a^2}+\frac{c}{a}
\displaystyle q=\frac{2}{27}\frac{b^3}{a^3}-\frac{1}{3}\frac{bc}{a^2}+\frac{d}{a}
y^3+py+q=0
さらにyを2つの変数で置き換えると
y=u+v
(u+v)^3+p(u+v)+q=0
u^3+3u^2v+3uv^2+v^3+p(u+v)+q=0
u^3+3uv(u+v)+v^3+p(u+v)+q=0
u^3+v^3+q+(3uv+p)(u+v)=0
上記の式を満たすには、以下の等式が成り立つ必要があります。(∧は左辺と右辺がともに真をあらわす)
u^3+v^3+q=0 ∧  (3uv+p)(u+v)=0
3uv+p=0
\displaystyle u=-\frac{p}{3v}
u^3+v^3+q=0
\displaystyle v^3-(\frac{p}{3v})^3+q=0
\displaystyle v^3-\frac{p^3}{27v^3}+q=0
\displaystyle (v^3)^2+qv^3-\frac{p^3}{27}=0
v^3について2次方程式とみなすとv^3は二次方程式の解の公式で解ける。
\displaystyle v^3=\frac{-q \pm \sqrt{q^2+\frac{4p^3}{27} } }{2}
\displaystyle v^3=\frac{-q \pm \sqrt{\frac{27*3}{27*3}q^2+\frac{4*3p^3}{27*3} } }{2}
\displaystyle v^3=\frac{-9q \pm \sqrt{81q^2+12p^3 }}{18}
u^3+v^3+q=0
u^3=-v^3-q
\displaystyle u^3=-\frac{-9q \pm \sqrt{81q^2+12p^3 }}{18}-q
\displaystyle u^3=-\frac{-9q \pm \sqrt{81q^2+12p^3 }}{18}-\frac{18}{18}q
\displaystyle u^3=\frac{-9q \mp \sqrt{81q^2+12p^3 }}{18}
v^3とu^3の式を比べると±の向きの違いだけである。
一番簡単な3次式について解を求めてみる。
x^3-a^3=0
(x-a)(x^2+ax+a^2)=0
解は、
x=a,x^2+ax+a^2=0
2次方程式を解いてみると実数解が1個と複素数の解が2個となる。
x=a
\displaystyle x=\frac{-a \pm \sqrt{a^2-4a^2}}{2}=\frac{-a \pm \sqrt{-3a^2}}{2}=\frac{-1 \pm \sqrt{3} i}{2}a
上記の解をaで除してωnで表すと
\displaystyle \omega_0=1,\omega_1=\frac{-1 + \sqrt{3} i}{2},\omega_2=\frac{-1 - \sqrt{3} i}{2}
v^3やu^3を解く。
\displaystyle v^3=\frac{-9q \pm \sqrt{81q^2+12p^3 }}{18}
\displaystyle v^3-\frac{-9q \pm \sqrt{81q^2+12p^3 }}{18}=0
\displaystyle u=\sqrt[3]{\frac{-9q + \sqrt{81q^2+12p^3 }}{18}}=0
(v-\alpha)(v^2+\alpha v+\alpha ^2)=0
v_0=v,v_1=\omega_1 v,v_2=\omega_2 v
\displaystyle v=\sqrt[3]{\frac{-9q - \sqrt{81q^2+12p^3 }}{18}}=0
u_0=u,u_1=\omega_1 u,u_2=\omega_2 u
下式を満たすuvの組み合わせは以下の通りとなります。
uv=-p
uとvがそれぞれ3個ずつ解があるためyは9通り存在することになりますが、上記式を満たす組み合わせは以下の3つだけです。
y_0=u+v
y_1=\omega_1 u+ \omega_2 v
y_2=\omega_2 u+ \omega_1 v
√の中が負になると虚数になりますので複素数で計算する必要があります。
またωも複素数です。
立方根は本来3個の解がありますが、例えばExcelやC++等の複素数系の関数で計算すると1個の解しか得られません。つまり3個のうちどの解を返すかはわかりません。
特に虚数が含まれない値の立法根を上記の関数で計算すると虚数を含む解を返してきます。
uやvにωを乗じるときuやvは複素共役でない値を想定してるので、立方根を計算する前の値に虚数が含まれていない場合は、通常の実数を対象とした3乗根で計算し複素数にならないような解にする必要があります。
yが求まれば、逆に式をたどればxが求まります。
\displaystyle x_n=y_n-\frac{b}{3a}
\displaystyle x_n=e \cdot u+f \cdot v-\frac{b}{3a}
\displaystyle x_n=e \sqrt[3]{\frac{-9q + \sqrt{81q^2+12p^3 }}{18}}+f \sqrt[3]{\frac{-9q - \sqrt{81q^2+12p^3 }}{18}}-\frac{b}{3a}
n=0\ e=1,f=1
\displaystyle n=1\ e=\frac{-1 + \sqrt{3} i}{2},f=\frac{-1 - \sqrt{3} i}{2}
\displaystyle n=2\ e=\frac{-1 - \sqrt{3} i}{2},f=\frac{-1 + \sqrt{3} i}{2}

3次方程式の解の公式

前項よりa,b,c,dから直接、解が算出できる式を作成してみます。
\displaystyle p=-\frac{1}{3}\frac{b^2}{a^2}+\frac{c}{a}=\frac{-b^2+3ac}{3a^2}
\displaystyle q=\frac{2}{27}\frac{b^3}{a^3}-\frac{1}{3}\frac{bc}{a^2}+\frac{d}{a}=\frac{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^3}
平方根の中にpとqの式を代入し整理します。
\displaystyle \sqrt{81q^2+12p^3 }=\sqrt{81(\frac{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^3})^2+12(\frac{-b^2+3ac}{3a^2})^3 }
\displaystyle =\sqrt{81(\frac{ 4b^6+81a^2b^2c^2+729a^4d^2-36ab^4c-486a^3bcd+108a^2b^3d}{729a^6})+12(\frac{-b^6+9ab^4c-27a^2b^2c^2+27a^3c^3}{27a^6}) }
\displaystyle =\sqrt{(\frac{ 4b^6+81a^2b^2c^2+729a^4d^2-36ab^4c-486a^3bcd+108a^2b^3d}{9a^6})+4(\frac{-b^6+9ab^4c-27a^2b^2c^2+27a^3c^3}{9a^6}) }
\displaystyle =\sqrt{\frac{ 4b^6+81a^2b^2c^2+729a^4d^2-36ab^4c-486a^3bcd+108a^2b^3d -4b^6+36ab^4c-108a^2b^2c^2+108a^3c^3 }{9a^6} }
\displaystyle =\sqrt{\frac{ 4b^6-4b^6 -36ab^4c+36ab^4c +81a^2b^2c^2-108a^2b^2c^2 +729a^4d^2-486a^3bcd+108a^2b^3d +108a^3c^3 }{9a^6} }
\displaystyle =\sqrt{\frac{ -27 a^2b^2c^2 +729a^4d^2-486a^3bcd+108a^2b^3d +108a^3c^3 }{9a^6} }
\displaystyle =\sqrt{\frac{ -3^3 a^2b^2c^2 +3^6a^4d^2-2 \times 3^5a^3bcd+2^2 \times 3 ^3a^2b^3d +2^2 \times 3^3a^3c^3 }{3^2a^6} }
\displaystyle =\sqrt{\frac{ -3 b^2c^2 +3^4a^2d^2-2 \times 3^3abcd+2^2 \times 3 b^3d +2^2 \times 3ac^3 }{a^4} }
\displaystyle =\frac{ \sqrt{ 3(- b^2c^2 +3^3a^2d^2-2 \times 3^2 abcd+2^2 \times b^3d +2^2 \times ac^3 )}}{a^2}
\displaystyle =\frac{ \sqrt{ 3(- b^2c^2 +27a^2d^2 -18 abcd +4b^3d +4ac^3 )}}{a^2}
式を整理すると以下の式ができました。

3次方程式の解の公式

ax^3+bx^2+cx+d=0\ (a \neq 0)
\displaystyle x_n=e \sqrt[3]{\frac{-2b^3+9abc-27a^2d}{54a^3}+ \frac{ \sqrt{ 3(- b^2c^2 +27a^2d^2 -18 abcd +4b^3d +4ac^3 )}}{18a^2}}
\displaystyle +f \sqrt[3]{\frac{-2b^3+9abc-27a^2d}{54a^3}- \frac{ \sqrt{ 3(- b^2c^2 +27a^2d^2 -18 abcd +4b^3d +4ac^3 )}}{18a^2}} -\frac{b}{3a}
n=0\ \ e=1,f=1
\displaystyle n=1\ \ e=\frac{-1 + \sqrt{3} i}{2},f=\frac{-1 - \sqrt{3} i}{2}
\displaystyle n=2\ \ e=\frac{-1 - \sqrt{3} i}{2},f=\frac{-1 + \sqrt{3} i}{2}

使用した公式

以下に解の公式を導出するために使用した公式を示します。

式の展開

(a-b)^2=a^2 -2ab+b^2
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca
(a+b)^3=a^3 +3a^2b+3ab^2+b^3
(a-b)^3=a^3 -3a^2b+3ab^2-b^3

二次方程式の解の公式

ax^2+bx+c=0 \ \ \ \ a \neq 0
\displaystyle x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

複素数の四則算

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i
(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i
\displaystyle \frac{a+bi}{c+di}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc+ad}{c^2+d^2}i
\displaystyle \frac{a+bi}{c}=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}i

複素数のn乗根

\displaystyle \sqrt[n]{a+bi}=\sqrt[n]{z} \cos \frac{\theta + 2k \pi}{n} + \sqrt[n]{z} \cdot i \cdot \sin \frac{\theta + 2k \pi}{n},k=(0,1, \cdot \cdot \cdot n-1)
z=\sqrt{a^2+b^2}
\displaystyle \theta =\tan ^-1 \frac{b}{a}

複素数の立方根(n=3)

\displaystyle \sqrt[3]{a+bi}=\sqrt[3]{z} \cos \frac{\theta }{3} + \sqrt[3]{z} \cdot i \cdot \sin \frac{\theta}{3}
\displaystyle \sqrt[3]{a+bi}=\sqrt[3]{z} \cos \frac{\theta + 2 \pi}{3} + \sqrt[3]{z} \cdot i \cdot \sin \frac{\theta + 2 \pi}{3}
\displaystyle \sqrt[3]{a+bi}=\sqrt[3]{z} \cos \frac{\theta + 4 \pi}{3} + \sqrt[3]{z} \cdot i \cdot \sin \frac{\theta + 4 \pi}{3}
z=\sqrt{a^2+b^2}
\theta ={\tan}^{-1} \frac{b}{a}