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初版 2013/10/27
文章の訂正 2013/10/28

バルクハウゼン型発振回路

LC発振回路の原型であるバルクハウゼン型発振回路を解析します。

発振条件

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ハルクハウゼン型発振回路を解析するためにVinとV1を切り離します。(スイッチをOff)
相互コンダクタンスgmは出力電流変化/入力電圧変化を表したものであり、出力電圧は入力電圧*gm*負荷インピーダンスとなります。
検討を簡単にするためにZ1~Z3は純リアクタンス素子とします。
純リアクタンス素子とはLまたはCで直列または並列に抵抗成分等が含まれず電圧と電流の位相が正確にプラスまたはマイナス90度変化する素子です。
負荷インピーダンスはRoとZ3との並列合成値と、(Z2+Z1)の合成抵抗となります。よってVoは下式のとおりとなります。(式中の//は並列抵抗を表します。 A // B はAとBが並列に接続されていることを示します。)

V1はVoをZ1とZ2で分圧されているため下式で表せます。

Voに代入すると

発振するためには、Vinに入力された電圧より大きな電圧が戻ってくる必要があるため(小さな電圧が戻ってくるといずれ発振が止まる)、Vin≦V1である必要があります。増幅回路と帰還回路で表現した場合、ループゲイン(V1/Vin)が1以上必要ということになります。



並列合成抵抗の求め方は各抵抗の逆数の和を逆数にすると求められるので、




ここでZはインピーダンスを複素表示したものです。Zには位相成分も含んでいます。抵抗の複素表示をZR、コイルの複素表示をZL、コンデンサの複素表示をZCとするとインピーダンスは下式のとおりとなります。







電気の世界では虚数を表すiは電流のiと勘違いしやすいので代わりにjを使用します。
安定して発振するには、反転増幅器(入力と出力が180度の位相差をもつ)と帰還回路を組み合わせる場合は、発振周波数で帰還回路の位相が180度ループゲインが1、非反転増幅器と帰還回路を組み合わせる場合は、発振周波数で帰還回路の位相が0度ループゲインが1でなければなりません。
純リアクタンス素子のインピーダンスは、-jωCまたはJωLなので、インピーダンス同士を掛け合わせるとj*j=-1より位相が0となります。
したがって、(Z1+Z2)*Z3、Ro*Z1*Z2の虚数jは消えます。
したがって、位相に関係する部分は、Z1+Z2+Z3のみとなり、これが0の場合、虚数部が消え位相回転が0度または180度となる。位相に関する発振条件は下式のとおり表せます。

上式を代入すると利益条件は、

反転増幅器で180度位相が回るため帰還回路の位相は180度である必要があります。

上式が成立するには、分子が負なら分母が正、分子が正なら分母が負である必要があります。したがってZ1とZ2は符号が逆である必要があります。
|Z1+Z2|>|Z1|なので、|Z2|>|Z1|であるなら、Z1+Z2+Z3=0となるにはZ1とZ3は符号が同じである必要があります。
これらをまとめると2つの発振形式が考えられます。
形式 Z1 Z2 Z3
コルピッツ C L C
ハートレー L C L

コルピッツ発振回路

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ハートレー発振回路

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負性抵抗の周波数特性

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水晶発振回路を例に検討する。
水晶発振回路を簡略化して表すと上図の様になる。
水晶直列抵抗の損失を負性抵抗-Rで帳消しにしています。
発振が持続するには、


発振が立ちあがるには

たとえばエミッタ接地回路でベース電圧に対してコレクタ電圧は逆相となります。コレクタに負荷を接続するとコレクタ電圧の低下に伴い負荷電流も低下します。入力電圧が増えて電流が減るということはベースとコレクタ間に負性抵抗が発生することになります。
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上図回路のインピーダンスは電流を1とするとZ1に発生する電圧eiがZ1となりFETのドレイン電流はZ1*gmとなる。このときのZ3の電圧は、-Z3*gm*Z1となります。

同様にコルピッツ回路について解くと
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上式の近似式として下式が作成できます。

式より高域ほどCg・Cdのインピーダンスが小さくなるため、急激に負性抵抗が小さくなります。下図の曲線A
上式では、DCまで負性抵抗が上昇する結果となっていますが、実際は低域でフィードバック抵抗Rfと負荷容量CLの影響が無視できなくなりある周波数を境に急激に低下し負から正に転じます。下図の青線
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負のインピーダンスが正になるには、右辺の第1項と第2項が等しくなったときなので、

ωについて解くと

ω=2πfより

Cg=Cdならば、

発振余裕度はCg・Cd及びRf又はgmの影響を受ける。発振させたい周波数及び水晶振動子などの直列抵抗に応じて適切な値にする必要がある。
変化させる要素
Cg=Cd A曲線は2乗分、左へ移動
fcは比例して大きくなる
A曲線は2乗分、右へ移動
fcは比例して小さくなる
Rf fcは1/2乗に比例して大きくなる。 fcは1/2乗に比例して小さくなる。
gm A曲線は比例分 左へ移動
fcは1/2乗に比例して大きくなる。
A曲線は比例分 右へ移動
fcは1/2乗に比例して小さくなる。