CR回路の過度特性

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コンデンサの充電(コンデンサの初期電圧が0Vの場合)

電源がV0からV1に変化するとき,コンデンサの初期電が圧が0V、t秒後のコンデンサの電圧をVcとすると、充電電流は下式のとおりである。

I=(V1-Vc)/R

\displaystyle I=C\frac{dVc(t)}{dt}=\frac{dQ(t)}{dt}

A=Vc-V1

とおき両辺をCで割ると
Rsの電圧変化とVcの電圧変化は±逆になるので

\displaystyle \frac{dA}{dt}=\frac{dA}{dt}

\displaystyle I=\frac{A}{R}

\displaystyle \frac{A}{CR}=-\frac{dA}{dt}

\displaystyle \frac{1}{A}Ay=-\frac{1}{CR}dt

積分すると
\displaystyle \ln A=-\frac{1}{CR}+C'

\displaystyle A=\mathrm{e}^{C'} \times \mathrm{e}^{-\frac{t}{CR}}

Aをもとに戻す
\displaystyle Vc-V1=\mathrm{e}^{C'} \times \mathrm{e}^{-\frac{t}{CR}}

初期電圧はVc=V0,t=0なので
V0=K+V1

\displaystyle \displaystyle Vc=K \times \mathrm{e}^{-\frac{0}{CR}}+V1

K=V0-V1

よって
\displaystyle Vc=(V0-V1) \mathrm{e}^{-\frac{t}{CR}}+V1

v0が0の時は、
\displaystyle Vc=(0-V1) \mathrm{e}^{-\frac{t}{CR}}+V1

\displaystyle Vc=V1(1- \mathrm{e}^{-\frac{t}{CR}})

C Rs V SVGの代替画像

時間が時定数と同一の時、振幅は下式より約63.2%となる。

\displaystyle 1-\mathrm{e}^{-1}=0.632120559
経過時間:=s
時定数:=


最終制定値:

最終制定値と経過時間より時定数τを逆算

\displaystyle \frac{Vc}{Vp}=1-\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}}
\displaystyle -\frac{Vc}{Vp}+1=\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}}
y=\mathrm{e}^x
\displaystyle x=log_{e}r y
\displaystyle {-\frac{t}{\tau}}=log_{e} (-\frac{Vc}{Vp}+1)
\displaystyle \tau=-\frac{t} { log_{e} (-\frac{Vc}{Vp}+1)}
経過時間:=s
最終制定値:=


時定数:τ

コンデンサの放電

コンデンサの放電

コンデンサの初期電圧をVpとすると時間t後のコンデンサ両端の電圧Vcは下式で表せる

\displaystyle Vc=Vp \cdot e^{ -\frac{t}{C \cdot RL}}

コンデンサの充放電特性グラフ

CRを時定数と定義する。時間/時定数をグラフの横軸、最高電圧に対する倍率を縦軸に表すと下図のとおりである。

0 1 2 3 4 5 6 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 充電 放電 時定数 最 終 制 定 値 SVGの代替画像

経過時間:=s
時定数:τ=


最終制定値:

最終制定値と経過時間より時定数τを逆算

\displaystyle \frac{Vc}{Vp}=\mathrm{e}^{ -\frac{t}{ \tau } }
y=\mathrm{e}^x
x=log_{e}r y
\displaystyle -\frac{t}{\tau}=log_{e}(\frac{Vc}{Vp})
\displaystyle \tau=-\frac{t}{log_{e}(\frac{Vc}{Vp})}
経過時間:=s
最終制定値:=


時定数:τ

LT Spiceでシミュレーションをしてみました。

シミュレーションが見やすいように充電の電源を1V、CRの時定数を1(100kΩ×10μF=1)としました。放電時のコンデンサの初期電圧は1Vとしています。


          * CR

.tran 1ms 6s

vs      1               0       1V

r1      1               2       100k
c1      2               0       10uF IC=0V


c2      3               0       10uF IC=1V
r2      3               0       100k

.probe
.end